概率论与数理统计第四章：随机变量的数字特征

知识点

4.1 随机变量的数学期望

• 离散型随机变量的期望定义

  设离散型随机变量的分布律为若级数 绝对收敛，则称

  为随机变量 的数学期望，若级数 不收敛，则称 的数学期望不存在.数学期望也称为平均值、均值。

• 连续型随机变量的期望定义

  设连续型随机变量 的密度函数为 ,若积分 收敛，则称

  为随机变量 的数学期望。

• 一维随机变量函数的数学期望

  设 是随机变量 的函数，即 ，其中 是连续函数。

  1. 若 是离散型随机变量，其分布律为 （），且绝对收敛，则随机变量 的数学期望存在，且

  2. 若 是连续型随机变量，其概率密度为 ，且绝对收敛，则

• 二维随机变量函数的期望

  设 是随机变量 和 的函数，即 ，其中 为连续函数。

  1. 当 为二维离散型随机变量，其分布律为若则随机变量 的数学期望存在，且

     且

  2. 设 为二维连续型随机变量，联合概率密度为 。若则随机变量 的数学期望存在，且

     且

• 期望的性质

  1. ,其中 为常数.
  4. 若随机变量 与 相互独立，则

4.2 方差

• 方差的定义

  设 为随机变量，若 存在，则称 为 的方差，记作 ，即

  称 为 的标准差（或者均方差），记作 ，即

• 离散型随机变量的方差：，为分布律

• 连续型随机变量的方差：

• 方差的计算：

• 方差的性质

  1. 若 为常数，则
  2. 若 为常数，为随机变量，则
  3. 若随机变量和相互独立，则

4.3 常见分布的随机变量的期望与方差

• 常见离散型分布

  1. 0-1分布

     设 服从 0-1 分布，则其分布列为 。数学期望：，，方差：

  2. 二项分布

     设 服从参数为 的二项分布，则其数学期望为 ，方差为 。

  3. 泊松分布

     设 服从参数为 的泊松分布，则其数学期望为 ，，方差为 。

  4. 几何分布

     设 服从参数为 的几何分布，则其数学期望为 ，，方差为 ，其中 。

• 常见连续型分布

  1. 均匀分布

     设 服从参数为 的均匀分布，则其数学期望为 ，，方差为 。

  2. 指数分布

     设 服从参数为 的指数分布，则其数学期望为 ，，方差为 。

  3. 正态分布

     设 服从参数为 的正态分布，则其数学期望为 ，方差为 。

4.4 协方差和相关系数

• 协方差定义

  设为二维随机变量，若 存在，则称其为随机变量 和 的协方差，记为​。即

• 协方差的性质

  1. 对称性：

  3. 若为常数，则

  4. 若 与 相互独立，则

  6. 随机变量和的方差与协方差的关系：

• 相关系数定义

  由于协方差不能很好地量化两个变量的关系强度，协方差的绝对值越大并不直接意味着相关程度越强，因为它还取决于变量的尺度。因此引入相关系数

  设 为二维随机变量，且 ，。则称

  为随机变量 和 的相关系数。

• 相关系数的性质

  1. 用于衡量 和 之间的线性相关性，其取值范围为 。越接近1越相关。

  2. 时，表示 和 完全正相关，即存在 使 ；

     当 时，表示 和 完全负相关，即存在 使 ；

  3. 当 和 同号时，

  4. 当 和 相互独立时， ， 和 不相关，反之不成立，“不相关”是比“独立”要弱的一个概念。

     如果服从二维正态分布，那么 与 相互独立的充要条件是 与 互不相关。

• 设 二 维 随 机 变 量 ,则，相关系数为

  令,其中 为任意常数，则 也服从二维正态分布。均为一维正态分布，且独立和不相关互为充要条件

• 随机变量的标准化

  设随机变量 的期望和方差都存在，则 的标准化随机变量为

  1. 对任何一个随机变量有
  2. 设 和 的期望和方差都存在，则

4.5 矩和协方差矩阵

• 矩

  1. 原点矩

     设与是随机变量，如果 存在，则称它为 与​的 阶混合原点矩.

     特别地，当 时，称 为 的 阶原点矩.

     显然，随机变量 的一阶原点矩就是它的数学期望 .

  2. 中心矩

     设随机变量、的数学期望 、存在，且存在，则它称为与的阶混合中心矩.

     特别地，当时，就是的协方差​

     当时，称为 的 阶中心矩

     显然，随机变量 的二阶中心矩就是它的方差

• 协方差矩阵

  设为维随机变量，记 Cov,称

  为的协方差矩阵.

  1. 协方差矩阵为对称矩阵
  2. 协方差矩阵为半正定矩阵

习题

期望

• 求离散型随机变量的期望

  ​​

• 求连续型随机变量的期望

  ​​

• 求离散型二维随机变量函数的期望

  ​​

• 求连续型二维随机变量函数的期望

  ​​

• 利用性质求期望

  ​​

  ​​

• 利用对称性证明期望

  例：设随机变量的概率密度为关于对称 ,即且存在.证明

方差

• 方差的计算

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• 期望和方差的综合运用

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协方差和相关系数

• 计算矩和协方差矩阵

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• 性质

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