概率论与数理统计第六章：数理统计基本概念

知识点

6.1 总体、样本、统计量

• 总体 ：是指研究对象的某个性能指标的全体，通常用一随机变量 或 的分布代表总体

• 个体： 是指每一个研究对象.

• 样本： 从总体中取个个体，为样本容量，这部分个体称为样本

  简单随机样本是指个相互独立，而且与总体同分布的随机变量 ,简称随机样本，也常以随机向量()表示，它们的一组观察值 称为样本值（样本观测值）.

  设总体 的分布函数为 ，概率密度函数为 ，则样本 的联合分布函数为，联合概率密度函数为

• 统计量： 称不含未知参数的样本函数 为统计量

  1. 样本均值：
  2. 样本方差：，除以n-1是为了实现样本方差对总体方差的无偏估计
  3. 样本标准差：
  4. 样本阶原点矩：
  5. 极大次序统计量：
  6. 极小次序统计量：

6.2 常见统计量的分布

• 分布

  相互独立，且均服从标准正态分布，则称

  服从自由度为 的 分布，记为 ,其密度函数为

  ​​

  Γ函数：​

  2. 设,且与相互独立.则

• 分布

  设随机变量 与 相互独立,若 ,则随机变量 的分布称为个自由度的 分布 , 即 ,其概率密度函数为

  ​​

  2. ，故足够大时 分布近似于 ，一般 即可认为是标准正态分布

• 分布

  设随机变量 与 相互独立，且分别服从 和 分布，若 ,则 服从自由度为 的分布.即 ,其概率密度函数为

  ​​

  1. 若 ，则
  2. 若 ,则

6.3 正态总体的抽样分布

• 单正态总体的抽样分布定理

  设总体，为总体的简单随机样本.样本均值 ,样本方差，则

  2. 与相互独立

• 双正态总体的抽样分布定理

  设总体 与总体 相互独立。 与 分别为总体 与总体 的简单随机样本。以 分别表示两样本的样本均值与样本方差，则有：

  3. 当 时：

     其中，

6.4 抽样分布的上分位点

• 标准正态分布的分位点

  设随机变量 ，即 服从标准正态分布。对于 ，如果存在实数 满足：，则称点 为标准正态分布的上 分位点

  ​​

• 分布​的分位点

  设随机变量 ,若对 ,实数 满足则称点 为 的上 分位点，易得

  ​​

• 分布的分位点

  设随机变量 ,若对 满足，则称点 为 的上 分位点，易得

  ​​

• 分布的分位点

  设随机变量 ,若对 满足，则称点 为 的上α分位点，易得

  ​​

• 分位点的统一定义

  设为 一 个 连 续 型 随 机 变 量 , 若 对 ,实数$Y_a P{Y>Y_a}=Y_aY$的上分位点

• 分位点的性质

  2. ,
  3. ，这个性质常用于构建置信区间。
  4. ,
  5. ,

习题

• 判断抽样分布的类别

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  ​​

• 统计量求数字特征

  1. 或
  2. 或
  3. 或

  ​

• 关于分位点

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• 统计量的综合应用

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